Dos estudiantes de secundaria se subieron a un escenario matemático normalmente reservado a profesores y, en silencio, reescribieron algo que muchos creían zanjado.
Su trabajo no cambia la famosa fórmula que todo el mundo aprende en el colegio, pero sí cuestiona cómo llegamos a ella y quién puede impulsar las matemáticas.
Dos adolescentes, un teorema antiguo y una pregunta nueva
Durante más de dos milenios, el teorema de Pitágoras ha estado en el corazón de la geometría. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Generaciones lo han memorizado como a² + b² = c².
A lo largo de los siglos, los matemáticos han producido cientos de demostraciones de esta relación: disecciones geométricas, manipulaciones algebraicas e incluso argumentos atribuidos a presidentes de Estados Unidos. Cada demostración ofrece una ventana distinta sobre el mismo hecho.
Así que cuando dos estudiantes estadounidenses de secundaria, Ne’Kiya Jackson y Calcea Johnson, propusieron algo que sobre el papel parecía imposible, la comunidad matemática se detuvo y miró de nuevo.
Dos adolescentes afirmaron haber hallado una demostración puramente trigonométrica del teorema de Pitágoras, sin utilizar el propio teorema de forma encubierta.
La idea suena técnica, pero detrás hay una pregunta sencilla: ¿se puede usar la trigonometría -que normalmente se apoya en Pitágoras- para demostrar Pitágoras en primer lugar, sin caer en un razonamiento circular?
Una demostración que se niega a morderse la cola
La mayor parte de la trigonometría a nivel escolar se apoya en triángulos rectángulos. Las definiciones de seno y coseno a menudo derivan directamente del teorema de Pitágoras, así que cualquier intento de demostrar el teorema con esas funciones corre el riesgo de ser circular.
Jackson y Johnson atacaron esa circularidad de frente. No partieron de fórmulas trigonométricas ya conocidas, sino de hechos geométricos básicos que no requieren Pitágoras en absoluto:
- propiedades de triángulos semejantes
- relaciones entre ángulos en un triángulo
- proporciones entre lados correspondientes
Con esos ingredientes, reconstruyeron con cuidado las nociones de seno y coseno de una manera más primitiva. En lugar de decir «sen es cateto opuesto entre hipotenusa» y asumir que la hipotenusa se comporta como promete Pitágoras, vincularon estas funciones a razones de ángulos y longitudes que se deducen únicamente de la semejanza y la proporcionalidad.
Paso a paso, reconstruyeron identidades trigonométricas estándar. Una de las centrales es familiar para cualquiera que haya tocado la trigonometría de secundaria: sin²(x) + cos²(x) = 1. Y, crucialmente, llegaron a esta relación sin invocar el teorema de Pitágoras en ningún momento.
Al reconstruir la trigonometría a partir de proporciones geométricas, mostraron que la identidad sin²(x) + cos²(x) = 1 no necesita a Pitágoras como supuesto inicial.
Una vez que esa identidad se sostiene por sí sola, el puente de vuelta a los triángulos rectángulos se vuelve posible. Entonces vincularon las funciones abstractas sin y cos con triángulos reales, conectaron la identidad con longitudes de lados y recuperaron la ecuación clásica a² + b² = c².
El resultado: una demostración de Pitágoras usando trigonometría que no introduce el teorema por la puerta de atrás.
Múltiples demostraciones, no solo un truco ingenioso
Su trabajo publicado, que apareció en la revista American Mathematical Monthly, hace más que presentar un único argumento pulcro. Según la presentación en la conferencia y los informes posteriores, desarrollaron varias demostraciones distintas usando su marco.
Una de estas construcciones actúa como un generador: una vez que aceptas su planteamiento inicial, produce varias otras demostraciones con configuraciones geométricas diferentes. Esa abundancia importa, porque los matemáticos confían más en un enfoque nuevo cuando genera una familia de argumentos y no un único ejemplo frágil.
| Aspecto | Enfoque tradicional | Enfoque de Jackson y Johnson |
|---|---|---|
| Punto de partida | Triángulos rectángulos y teoremas existentes | Semejanza, propiedades angulares, proporcionalidad |
| Uso de la trigonometría | Construida directamente a partir de Pitágoras | Definida de forma independiente y luego conectada |
| Riesgo de razonamiento circular | Alto en demostraciones trigonométricas ingenuas | Evitado cuidadosamente por construcción |
| Resultados | Un único estilo de demostración cada vez | Varias demostraciones, incluida una que engendra otras |
De aulas de Luisiana a un escenario matemático nacional
Jackson y Johnson desarrollaron sus ideas mientras aún estaban en el instituto en Luisiana. El proyecto se prolongó durante cuatro años, un periodo largo para estudiantes que compaginan exámenes, actividades y solicitudes universitarias.
En marzo de 2023, presentaron su trabajo en la reunión anual de la Mathematical Association of America en Atlanta. Esa conferencia suele mostrar investigación de académicos y estudiantes de posgrado. Ver a dos adolescentes en el programa con un tema fundacional llamó la atención rápidamente.
En cuestión de meses, su trabajo pasó de ser un proyecto de instituto a un artículo revisado por pares en una revista de matemáticas respetada.
El reconocimiento rápido indicó que los expertos hicieron algo más que elogiar su entusiasmo: revisaron la lógica línea por línea y la encontraron sólida. En un campo tan conservador como las matemáticas puras, ese tipo de validación pesa.
Por qué esto importa para las matemáticas, y no solo como noticia inspiradora
A primera vista, nada cambia para ingenieros, arquitectos o estudiantes que aprenden geometría básica. La ecuación sigue siendo la misma. Los catetos de un triángulo rectángulo siguen obedeciendo a² + b² = c². Los puentes no se caerán.
El impacto más profundo está en otro lugar. Cuando alguien encuentra una demostración nueva de un teorema clásico, a menudo abre puertas laterales hacia otras preguntas. Las herramientas construidas para resolver un problema pueden encajar en muchos otros.
Al fundamentar identidades trigonométricas en geometría más elemental, este enfoque puede ofrecer a los investigadores maneras nuevas de pensar sobre:
- cómo definimos funciones en superficies curvas
- métodos numéricos que dependen de cálculos trigonométricos
- algoritmos en gráficos por ordenador o robótica que se apoyan en relaciones ángulo–longitud
En aprendizaje automático o visión por computador, por ejemplo, los algoritmos suelen manejar ángulos, distancias y proyecciones en espacios de alta dimensión. Pequeños cambios en cómo se plantean esas relaciones a veces conducen a fórmulas más limpias o a cálculos más rápidos.
Inspiración para estudiantes que nunca se vieron como «gente de mates»
Jackson y Johnson continúan ahora sus estudios: una en ingeniería ambiental en la Louisiana State University, la otra en farmacia en la Xavier University of Louisiana. Ninguna siguió una trayectoria estrecha de matemáticas puras, lo que transmite un mensaje silencioso sobre quién puede contribuir a la teoría.
Su historia muestra que los avances significativos no siempre vienen de profesores consagrados; estudiantes perseverantes también pueden mover la conversación.
Los docentes ya citan su trabajo como caso de estudio al animar al alumnado a intentar proyectos de investigación, aunque sean pequeños. La lección clave no es que cada adolescente deba perseguir un teorema legendario. En cambio, muestra que:
- los proyectos a largo plazo basados en la curiosidad pueden dar frutos
- preguntar «¿se puede hacer de otra manera?» a veces lleva a algo real
- las matemáticas aún tienen espacio para ideas genuinamente nuevas, incluso en terrenos familiares
Cómo su método puede alimentar la práctica en el aula
Para el profesorado de secundaria, esta historia ofrece más que un titular. Sugiere una forma de replantear cómo se conectan trigonometría y geometría en clase. En lugar de presentar seno y coseno como fórmulas que memorizar, los educadores pueden partir de la semejanza y de relaciones angulares y después construir la trigonometría paso a paso.
Una actividad sencilla en el aula podría reflejar parte del recorrido de las estudiantes:
- pedir al alumnado que dibuje varios triángulos rectángulos que compartan un ángulo agudo
- medir razones entre lados para ese ángulo fijo en distintos triángulos
- mostrar que esas razones se mantienen constantes, lo que motiva seno y coseno sin invocar directamente a Pitágoras
Este camino ayuda a que el alumnado vea la trigonometría como algo que nace de la geometría, y no como un conjunto de reglas caídas de la nada. Esa intuición puede hacer que identidades posteriores, como sin²(x) + cos²(x) = 1, se sientan menos como magia y más como un paso natural.
Más allá de Pitágoras: ¿qué más podría cambiar después?
Una vez aceptas que un teorema de 2.000 años todavía puede ganar demostraciones nuevas, otros temas empiezan a parecer menos congelados. Los investigadores ya cuestionan fundamentos en áreas como la probabilidad, la lógica y la geometría en espacios curvos.
Un efecto probable aparece en el estudio de la propia demostración matemática. Al poner al descubierto y evitar el razonamiento circular en argumentos típicos de los libros de texto, trabajos como este fomentan un examen más minucioso de derivaciones «obvias». Ese hábito puede prevenir errores sutiles en campos más avanzados, desde el álgebra abstracta hasta la informática teórica.
Para estudiantes e investigadores, el mensaje es extrañamente práctico: incluso si una fórmula parece intocable, el camino que conduce a ella todavía puede guardar sorpresas. Revisitar esos caminos puede generar herramientas nuevas, preguntas nuevas o, simplemente, una imagen más limpia de por qué las matemáticas funcionan en absoluto.
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